Existence and Stability Analysis of Asymmetric Patterns for the Gierer-meinhardt System

In this paper, we rigorously prove the existence and stability of K-peaked asymmetric patterns for the Gierer-Meinhardt system in a two dimensional domain which are far from spatial homogeneity. We show that given any positive integers k1, k2 ≥ 1 with k1 + k2 = K, there are asymmetric patterns with k1 large peaks and k2 small peaks. Most of these asymmetric patterns are shown to be unstable. However, in a narrow range of parameters, asymmetric patterns may be stable (in contrast to the one-dimensional case). Résumé. Nous prouvons l’existence et la stabilité de les structures asymétriques pour le systéme de Gierer-Meinhardt dans un domaine ouvert deux-dimensionnel qui sont distantes de la homogénéité spatiale. Pour k2 ≥ 1, k1 ≥ 1 il y a des structures avec k1 grands et k2 petits pics. La plupart des solutions asymétriques sont instables. Pour un région petit des paramètres les solutions asymétriques pouvons ětre stables (en contraste d’une dimension).